Билинейные и квадратичные функции и формы

Отображение $f\mathpunct{:}~ V \times V \rightarrow F$ называется **билинейным**, если оно линейно по каждому своему аргументу. То есть $\forall{x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}}\mathpunct{:}$ 1. $f(x_1 + x_2, y_{1}) = f(x_1, y_{1}) + f(x_2, y_{1})$ 2. $f(\lambda x_{1}, y_{1}) = \lambda f(x_{1}, y_{1})$ 3. $f(x_{1}, y_1 + y_2) = f(x_{1}, y_1) + f(x_{1}, y_2)$ 4. $f(x_{1}, \lambda y_{1}) = \lambda f(x_{1}, y_{1})$

Билинейная функция $f$ называется **симметрической**, если: $$\forall{x_{1}, x_{2}}\mathpunct{:}~~ f(x_{1}, x_{2}) = f(x_{2}, x_{1})$$

**Билинейной формой** от переменных $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ и $y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ называется выражение вида: $$ f(x, y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j $$ $B = (a_{ij})_{n \times n}$ — **матрица билинейной формы**, поэтому выражение можно переписать в виде: $$f(x, y) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij}y_{j} \right) = [x]^{t}B[y]$$

Если $f(x, y)$ — билинейная функция, то $q(x) = f(x, x)$ называется **квадратичной функцией**. Далее предполагаем, что характеристика поля $\operatorname{char}\mathbb{F} \neq 2$. Это позволяет однозначно восстановить симметричную билинейную форму по квадратичной.

Выражение вида $$ q(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + 2 \sum_{\substack{1 \leq i < j \leq n}} a_{ij} x_i x_j $$ называется **квадратичной формой**. Также его можно записать так: $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} x_i^2 + \sum_{\substack{i,j=1\\i \ne j}}^{n} a_{ij} x_i x_j $$ Так как $x_i x_j = x_j x_i$, можно систематизировать коэффициенты: $$ a'_{ij} = a'_{ji} = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2}. $$ $B = (a'_{ij})$ называется **матрицей квадратичной формы**, $B = B^{T}$. Выражение можно записать как: $$q(x) = [x]^{t}B[x]$$